Huit énoncés types pour tester les agents

Exercice — Nombres complexes et Lieux géométriques Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u⃗, v⃗). L'unité graphique est de 2 cm. On considère les points A et B d'affixes respectives z_A = -2 et z_B = 2i. À tout point M d'affixe z (z ≠ -2), on associe le point M' d'affixe z' définie par : z' = (z - 2i) / (z + 2) Partie A : Étude algébrique et identification des ensembles 1. Placer les points A et B dans le repère. 2. Déterminer et tracer l'ensemble (Γ₁) des points M d'affixe z tels que |z - 2i| = 2. 3. a) Montrer que |z'| = 1 équivaut à AM = BM. b) En déduire la nature de l'ensemble (Δ) des points M d'affixe z tels que M' appartienne au cercle trigonométrique de centre O. Tracer (Δ). 4. a) Démontrer que pour tout z ≠ -2, on a : z' ∈ iℝ (imaginaire pur) ssi (z − z_B)/(z − z_A) est imaginaire pur. b) En déduire la nature de l'ensemble (Γ₂) des points M tels que z' soit un imaginaire pur. c) Déterminer l'affixe du centre Ω et le rayon r de (Γ₂), puis tracer (Γ₂). Partie B : Synthèse géométrique 1. Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB. 2. Vérifier algébriquement que l'origine O appartient à la fois à (Γ₁) et à (Γ₂). 3. Que représente l'ensemble (Γ₂) pour le triangle OAB ? Justifier comment cette conclusion confirme le tracé de la Partie A.

Exercice — Fonctions, Suites et Représentation graphique 2D On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 7] par : f(x) = (4x + 3) / (x + 2) On définit la suite (u_n) par u₀ = 1 et, pour tout n ∈ ℕ : u_{n+1} = f(u_n) Partie A : Conjectures graphiques (À réaliser sur le document réponse) Le document réponse présente, dans un repère orthonormé, la courbe représentative C_f de f, ainsi que la droite Δ d'équation y = x. 1. Placer le point A₀ de coordonnées (u₀ ; 0) sur l'axe des abscisses. 2. À l'aide de C_f et de Δ, construire sur l'axe des abscisses les termes u₁, u₂ et u₃. (Laisser apparents tous les traits de construction.) 3. À l'aide de cette construction, émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite (u_n). 4. La suite (u_n) semble-t-elle converger ? Si oui, conjecturer graphiquement la valeur de sa limite. Partie B : Démonstrations algébriques 1. Résoudre par le calcul, dans [0 ; 7], l'équation f(x) = x. 2. Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ : 1 ≤ u_n ≤ u_{n+1} ≤ 3 3. En déduire que la suite (u_n) est convergente. 4. Déterminer la limite exacte de (u_n) et vérifier la cohérence avec les conjectures de la Partie A.

Exercice — Triangle et médiatrices (construction interactive) Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère les points : A(2 ; 1), B(6 ; 4), C(4 ; 7) 1. Construire le triangle ABC. Quelle est sa nature apparente ? Calculer les longueurs AB, AC et BC pour confirmer. 2. Déterminer les coordonnées du milieu de chaque côté. 3. Tracer les trois médiatrices du triangle ABC. Montrer qu'elles sont concourantes en un point Ω. Calculer les coordonnées de Ω. 4. Quel est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC ? Vérifier que OA = OB = OC. 5. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier. 6. (Bonus) Faire varier le point C en C'(4 ; 2). Quelle est la nouvelle nature du triangle AB'C ?

Exercice — Lieu géométrique et point mobile Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² − 4x + 3. On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit M un point mobile sur C_f, d'abscisse x (x ∈ ℝ). On note P le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses. 1. Tracer la parabole C_f. Déterminer son sommet S et ses points d'intersection avec l'axe des abscisses. 2. Pour quelle(s) valeur(s) de x la distance MP est-elle minimale ? Quelle est alors la position de M ? 3. Soit N le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées. Déterminer les coordonnées de N en fonction de x. Quel est l'ensemble décrit par N lorsque M parcourt C_f ? 4. On considère le point Q(x ; f(x) + 2). Quel est le lieu décrit par Q quand M parcourt C_f ? Tracer ce lieu. 5. (Interactif) Faire varier x de -2 à 6 avec un curseur. Observer la trajectoire des points M, N et Q simultanément.

Exercice — Configuration de Thalès (DNB) Dans la figure ci-contre, on donne : - (AB) // (CD) - OA = 3 cm, OB = 4 cm, OC = 6 cm - Les points O, A, C sont alignés - Les points O, B, D sont alignés Question : Quelle est la longueur OD ? Choix A : OD = 8 cm Choix B : OD = 12 cm Choix C : OD = 4,5 cm Justification obligatoire : Explique ton raisonnement en utilisant le théorème de Thalès. Écris le rapport de proportionnalité et le calcul.

Exercice — Théorème de Pythagore (DNB) Un terrain rectangulaire a une longueur de 12 m et une largeur de 5 m. On veut connaître la longueur de sa diagonale. Question : Quelle est la longueur de la diagonale du rectangle ? Choix A : 13 m Choix B : 17 m Choix C : 7 m Justification obligatoire : Applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par la longueur et la largeur. Écris l'équation et le résultat.

Exercice — Construis un triangle rectangle par instructions (Agent Naïf) Tu es le professeur ! Donne les instructions une par une à l'Agent Naïf. À chaque étape, vérifie la figure et précise si besoin. Étape 1 : "Trace un triangle ABC rectangle en A." Observe ce que fait l'agent. Est-ce que le triangle est rectangle ? Vérifie l'angle droit. Étape 2 : "Ajoute les longueurs : AB = 3 cm et AC = 4 cm" L'agent doit maintenant dimensionner le triangle. Étape 3 : "Ajoute le segment BC et écris sa longueur." Vérifie que BC = 5 cm (théorème de Pythagore : 3² + 4² = 5²). Étape 4 (bonus) : "Ajoute le cercle circonscrit au triangle ABC." Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse BC. Son rayon est BC/2 = 2,5 cm.

Exercice — Construis un carré avec ses diagonales (Agent Naïf) C'est toi le professeur ! Guide l'Agent Naïf pas à pas. Essai 1 : "Trace un carré ABCD." Observe la figure. L'agent a-t-il bien placé les points dans l'ordre ? Les côtés sont-ils égaux ? Les angles sont-ils droits ? Essai 2 : "Trace un carré ABCD de côté 5, avec A en (0,0), B en (5,0), C en (5,5), D en (0,5)." Maintenant les coordonnées sont explicites. Vérifie que c'est bien un carré. Essai 3 : "Ajoute les diagonales AC et BD." L'agent doit tracer les deux diagonales. Essai 4 (bonus) : "Ajoute le point d'intersection O des diagonales et écris ses coordonnées." Normalement O = (2,5 ; 2,5). La figure est complète ! Question : Quelle propriété des diagonales du carré peux-tu vérifier sur la figure ?